De como não sou pós-doutor: títulos e não-títulos acadêmicos

Esta é uma versão revisada de um texto que publiquei em outro blog em 2013.

As denominações dos títulos acadêmicos variam entre instituições e, principalmente, entre países. Nomes semelhantes são usados com significados completamente diferentes, e a confusão é inevitável. No entanto, deve ser possível evitar ao menos uma confusão, comum nos currículos acadêmicos brasileiros: a denominação do pós-doutorado como um curso ou título, especialmente, como título mais elevado que o doutorado, coisa que ele não é. Mas vamos começar de antes.

O termo Bacharel geralmente designa o concluinte dos cursos de graduação, com duração de média de 4 anos além do ensino médio. Há exceções. Na França, por exemplo, baccalauréat, abreviado para BAC, é o exame feito ao final do ensino médio, classificatório para ingresso pos-secundário, algo semelhante ao nosso ENEM.

Licenciatura, no Brasil, denomina o curso superior específico para preparação de professores do ensino pré-universitário, tipicamente em áreas como Biologia, Física, Química, Matemática e Artes. Não é comumente usado com esse significado em outros países. Na União Europeia, que caminhou na unificação de seus diplomas pelo instrumento conhecido como Acordo de Bolonha, o termo hoje costuma designar um primeiro ciclo universitário, tipicamente com 3 anos de duração após Ensino Médio. Antes do acordo de Bolonha, e até hoje em outros países, o termo Licenciado pode ser sinônimo de Bacharel. Para completar, “Licenciado(a)” em certos países refere-se ao profissional aprovado em exame de ordem, diferente do apenas bacharel.

Ainda na graduação, há casos especiais, geralmente ligados a cursos que habilitam para as chamadas profissões liberais, como engenharia, arquitetura, medicina e advocacia. No Brasil, é possível cursar estas áreas diretamente a partir do Ensino Médico, embora Medicina e Engenharia tenham durações maiores. O título para Direito continua Bacharel em Direito, mas é mais comumente Médico(a) e Engenheiro(a) para suas  respectivas áreas. Na França, escolas de engenharia têm entrada por prova específica, geralmente feita após dois anos de preparação em Matemática e Física, realizada em escolas pós-secundárias (Liceus). A duração do curso de Engenharia propriamente dita naquele país é de 3 anos, o que então compreende 5 anos de formação após a conclusão do Ensino Médio.

A duração de 5 anos para as Engenharias é bastante comum em todo o mundo. Os EUA são uma exceção, com entrada diretamente após o ensino médio e duração típica de 4 anos. Entretanto, é praticamente obrigatório, para quem tenta cursar uma universidade americana em engenharia, o estudo de disciplinas avançadas de matemática ainda no Ensino Médio, o que basicamente torna o tempo total de estudo equivalente.

Esse prazo de 5 anos cria para os europeus uma dificuldade na questão do acordo de Bolonha, que exige um primeiro diploma (a licença) em 3 ou 4 anos após o ensino médio. A solução foi referir-se ao último ano de engenharia com outro título (Master), o que vai criar mais uma confusão quando chegarmos ao mestrado.

Para fechar a questão de graduação, deve-se mencionar mais um caso específico:  nos EUA,  escolas de Medicina e de Direito são consideradas pós-graduação, e sua entrada se dá tipicamente após algum outro curso de Bacharelado de 4 anos.

Agora que chegamos à pós-graduação a coisa começa a ficar confusa (se o leitor(a) pensa que estava confusa até agora, enganou-se). No Brasil, a pós-graduação é dividida em lato sensu stricto sensu. O primeiro termo (pós no sentido amplo) costuma compreender as especializações de até 360h. O segundo, a pós no seu senso estrito, propriamente dita, são os cursos de Mestrado e de Doutorado. Particularmente confusa é a situação do MBA (sigla do inglês, significando Mestrado em Negócios e Administração), que pode significar um Mestrado no sentido estrito em Administração ou uma especialização (pós lato sensu). Para confundir de vez, o mercado de trabalho passou a chamar a pós lato sensu simplesmente pós. Assim, em geral o que o mercado chama pós o MEC não chama pós em sentido estrito.

O Mestrado, no Brasil, geralmente envolve 2 anos de estudos após graduação, e a defesa de uma dissertação. No exterior, é comum que o título de Master não envolva, necessariamente, defesa de dissertação. Lembre-se que ainda temos o caso do “Master” europeu, que pode significar simplesmente o último ano de engenharia (nossa graduação, portanto). Eu afirmei apenas que pode, porque existem lá também mestrados, nas áreas de engenharia, no sentido mais próximo ao nosso.

Chegamos ao doutorado e seu estranho companheiro recente, o pós-doutorado. Restringindo-me agora à área de engenharia, que conheço melhor, uma pessoa que terminou um doutorado nesta área pode receber títulos com as siglas Dr., Dr. Ing., Ph.D., Dr. Sc., Dr. Phil., entre outros. Todas essas siglas significam basicamente a mesma coisa: o portador concluiu com sucesso um programa de estudos que inclui uma contribuição original para um problema relevante de pesquisa. Geralmente, este programa teve a duração de 4 anos, no mínimo, após a graduação (em vários países, notadamente nos EUA, o mestrado não é pré-requisito para uma candidatura ao doutorado). Envolve a defesa de uma Tese, avaliada por uma banca de doutores, na qual  estava presente pelo menos um pesquisador de outro programa de pós-graduação. Costuma-se dizer que o diploma de doutorado, o mais alto concedido por universidades, é a certificação do acadêmico como pesquisador(a) independente.

Mas tornou-se comum em anos recentes alguns acadêmicos se declararem pós-doutores em x pela universidade y. Eu acredito que esta declaração seja incorreta e que não deveria ser utilizada. O pós-doutorado, na minha opinião, por mais importante que seja, não é um título. Sobretudo, não é um “super-doutorado”, como esta declaração em currículos parece sugerir.

Se todos os termos acadêmicos que vimos acima são usados em mais de um significado, o pós-doutorado não seria exceção. Ele é usado para descrever duas situações praticamente opostas. Na Europa e Estados Unidos (e, de maneira crescente, também no Brasil), a carreira de Professor Universitário ou Pesquisador inicia-se ao final do doutorado. Em um primeiro uso do termo pós-doutorado, temos um recém-doutor, talvez ainda sem uma posição acadêmica, passa por um estágio, no qual participa um projeto avançado de pesquisa em andamento, possivelmente como líder auxiliar de uma equipe de doutorandos. Na segunda, quase do outro lado da carreira, um acadêmico experiente utiliza uma licença para uma visita profissional a outra instituição, geralmente por um ou dois semestres, quando colabora com um(a) colega local. Para evitar a confusão, eu favoreço o uso da expressão Acadêmico Visitante (Visiting Scholar) para este segundo caso, deixando pós-doutor (Postdoc) para o primeiro caso.

O problema não é a expressão pós-doutorado, mas o uso do termo pós-doutor como se este fosse um titulo, um nível de formação acadêmica acima do nível de doutor. Ora, vimos que o doutor é aquele que alcançou a condição de pesquisador independente. O que seria o pós-doutor? O pesquisador que conquistou mais do que a independência? Em tempo, esta atividade (um estágio de pesquisa ou colaboração acadêmica após o doutorado) provavelmente será repetida ao longo da carreira de um pesquisador. Se o pós-doutorado eleva o doutor a uma outra categoria, o segundo pós-doutorado cria o pós-pós doutor?

Convido o leitor a pesquisar as páginas de universidades e procurar a denominação correspondente ao doutorado. Encontrarão que este é o maior título acadêmico outorgado pela universidade, o que deixa claro que o tal pós-doutorado não é um título. Ao revisar este texto, visitei a página da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade do Colorado, nos EUA, onde obtive o doutorado, encontrando isto sob o título Ph.D. (que significa literalmente “Doutor em Filosofia”, mas é o nome do título acadêmico mais elevado nos EUA e Canadá em diversas áreas, Engenharia em particular):

The Doctor of Philosophy (PhD) is the terminal degree for those seeking a technical or research career in ECEE.

Não há duvidas, o Doutorado é o título terminal. Não há um título posterior. A página de títulos não menciona pós-doutorado. Também na pagina do MIT descreve-se o doutorado nos termos que usei acima e nada há, pelo menos na página do Dean de pós-graduação, sobre pós-doutorado.

No caso brasileiro, notei diferentes denominações. A USP e alguns Departamentos da UnB mencionam “Programa de Pós-Doutorado”  (o que indicaria que o consideram algo semelhante a um curso), enquanto  a COPPE (pós-graduação da UFRJ) insiste, corretamente na minha opinião, em denominá-lo um “Estágio”.  Na UNICAMP, encontrei “Estágio” e, em alguns casos, “Programa de Pesquisador de Pós-Doutorado”, o que tenta indicar, imagino, tratar-se de um estágio de pesquisa, e não um curso.

Na página da CAPES, a fundação do MEC que cuida do fomento e avaliação da pós-graduação, fala-se em Estágio Pós-Doutoral (abreviado, em alguns momentos, para simplesmente Pós-doutorado). Até onde sei,  “programas de pós-doutorado” não são um ponto específico da avaliação de pós-graduação pela CAPES, como são os programas de mestrado e de doutorado.  Tanto CAPES quanto CNPq oferecem “bolsas de pós-doutorado”, o que significa apenas o fomento a este estágio de pesquisa, e não o reconhecimento que eles conduzem o bolsista a um novo título.

É natural que queiramos valorizar um estagio de pesquisa em uma instituição importante. Eu posso imaginar que, para um dado indivíduo, seu estagio pós-doutoral tenha sido o momento mais importante e decisivo de sua carreira, e ele tem todo o direito de dar destaque a essa atividade em seu currículo. Mas cursos são cursos, que levam a títulos, e estágios são estágios. Eu não vejo vantagem em confundir os dois.  Em certa ocasião preenchi uma ficha de inscrição para uma corrida de rua, e as opções para nível de instrução eram Graduado, Mestre, Doutor e Pós-doutor. Marquei doutor, é claro. Eu fui acadêmico visitante no Imperial College, Reino Unido, com bolsa do CNPq, o que valorizo imensamente. Podemos até dizer que “fiz um pós-doutorado”. Mas eu não sei o que significa dizer que sou Pós-doutor.

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Bits A,C,G and T

This is a translation, by the author, of a previously posted text in Portuguese on this blog.

On a previous text, I wrote about a particular form of information processing, which we call digital, based on sets of discrete symbols, and mentioned that such discrete code makes this processing robust against errors and degradations. It is interesting to note that the use of discrete codes does not need to be seen as an engineering invention.

I was never a big fan of Biology at school. But I consider Charles Darwin, whose birthday we celebrate on February 12th, the main author behind the most revolutionary and creative idea in all Sciences. We all appreciate how Newton unified the mechanics of Earth and of the Sky, but Darwin and Wallace allowed Biology to eventually unify matter and life, randomness and the appearance of purpose, the existence of human beings and insects. A more beautiful, radical and brave idea. That brought me a great interest on the subject, even though I am not particularly fond of pets.

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Charles Darwin, probably in 1854. Mauli e Fox, photographers. Public Domain via Wikimedia Commons.

Another remarkable quality in Darwin is his way of presenting arguments, directly, honestly, as everything in Science should be. The Origin of Species dedicates whole sections to possible objections against the theory, and to questions for which he admitted not having a good answer. He could not have a good answer, in many cases, because only the understanding of genetics could bring the missing elements to his theory. A particularly serious problem was to explain how minute random changes, the base material for Natural Selection to work with, would not disappear, or be attenuated, in the “mix” of parents’ features that define new generations.

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Schematic representation of reproduction with dominance. Genetic information leading to the hypothetical white organism (1) is present, even if not expressed in a generation (2), and may reappear perfectly in the next generation (3). By  Benutzer:Magnus Manske

The discrete nature of the genetic code and the idea of dominance are the missing elements in this description. In the schematic view of three generations of a hypothetical being on this Figure, we may ask: why didn’t the white color (which arose randomly in the first generation, and which might be the subject of selection in a particular environment) become pink in the next generation, a darker pink in the third, to completely disappear a few generations later? In other forms of inheritance with partial dominance this might be the case. But a perfect white may reappear on the third generation because, among other reasons, the genetic information is perfectly preserved  in the form of a discrete-symbol code, composed by the bases A, C, G and T.

Of course this analogy did not go unnoticed, and experts in codes and information helped Biology to advance in this area. But saying that something is a discrete or digital code does not imply that engineers and computer scientists know everything (or anything) about it. In part of the coded message, triplets of bases codify protein components, but there are still many gaps of knowledge to fill.

Besides, DNA is not a blueprint or a manual for building living beings. Very little is known of the complex, delicate process that makes different cells, carrying rigorously the same genetic information, become different on a multicellular being, just to give an example. Perturbing ideas, like a Biological 3D printer that can make copies of you, or computers that can read our codes and suggest updates, if not physical impossibilities, don’t seem to be something we have to worry in the near future.

 

Listas Surpreendentes e a Verdade

Este deve ser, por algum tempo, o último texto sobre o Discreto e o Contínuo, e o último adendo à postagem original.

O texto original era centrado na ideia de que, ao contrário de um conjunto discreto de objetos, o contínuo não pode ser contado, o que é estranho. Mas isso pode ter passado a impressão de que está no contínuo toda a estranheza, o que, de novo, é falso.  A ideia de poder contar, listar, ordenar todos os elementos de um conjunto discreto, mas infinito, é mais estranha do que parece.

As letras do nosso alfabeto, ou de outros, formam um conjunto discreto. As letras, mais espaços em branco e sinais de pontuação, continuam formando um conjunto discreto. Se podemos contar as letras, podemos contar qualquer combinação de letras (concatenando, por exemplo, o número relativo a cada uma delas, formando um número imenso). Podemos atribuir um número a qualquer letra ou símbolo de escrita, e a combinações. Frases, parágrafos, páginas, livros. Todo livro que pode ser escrito está em uma imaginária lista de livros que podem ser escritos.

Todos os livros que podem ser escritos. Não os que você leu, não os que já foram publicados em sua língua. A Ilíada, em melhor tradução para português do que todas já publicadas, está nesta lista, ao lado de versões tão cheias de erros tipográficos que as tornam incompreensíveis. A biografia precisa, em mínimos detalhes, do leitor(a) está nesta lista, incluindo os eventos futuros. Junto a (ou longe de, ninguém disse que livros parecidos, ou sobre o mesmo assunto, têm números próximos) versões que contam sua vida precisamente até aqui, mas depois informam que você foi transformado em tomate por um feitiço, e viveu os últimos dias  na horta de um vegetariano guloso, o que esperamos não seja verdade.

O artista que chegou mais perto de traduzir o assombro dessa ideia, na minha opinião, foi Jorge Luis Borges e seu (infelizmente curtíssimo) conto A Biblioteca de Babel.

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A Biblioteca de Babel. Ilustração de Erik Desmazieres.

A Biblioteca (ou O Universo) é feito de conjuntos (o autor diz “talvez infinitos”) de células hexagonais com estantes de livros. Entre as muitas imagens instigantes sobre os habitantes deste estranho universo, a que mais me impressiona é a da busca por O Catálogo. Não há dúvida de que, entre esses infinitos livros, existe uma lista de endereços (números) dos livros que têm significado. Entenda, a enorme maioria dos infinitos livros são coleções de letras sem qualquer sentido. Temos então pessoas vagando em meio a um universo de significado e beleza, perdidas (talvez irremediavelmente) entre tolices sem sentido. Exótico e acadêmico, ou soa familiar?

Listar e ordenar os elementos de um conjunto infinito qualquer não serve apenas para criar belas imagens no campo do realismo fantástico. É uma ferramenta de raciocínio que leva aos resultados mais chocantes da matemática e da computação no século XX. Uma das muitas linguagens representadas nesta impossível biblioteca é a da própria matemática. Ela usa um conjunto discreto de símbolos para suas igualdades e desigualdades. Para cada sentença matemática, um número. O que ocorre se a sentença nos fala de uma propriedade de números? E se fala do próprio número que é associado a ela? 

Por este caminho, nos aproximamos de uma construção curiosa: os paradoxos auto-referenciais, conhecidos pelo menos desde a Grécia antiga. Um paradoxo em particular, conhecido como “Paradoxo do Mentiroso”,  é atribuído a Eubulides de Mileto, e tem a forma da seguinte frase: “Um homem diz que está mentindo. Essa afirmativa é verdadeira ou falsa?”. Ora, se é verdadeira, ele está mesmo mentindo, ou seja, falando falsidades, então a frase que ele está proferindo é falsa. Mas, se é falsa, ele não está falando a verdade. É isso o que a frase afirma, então ela é verdadeira. Se é falsa, é verdadeira. Porque é verdadeira, é falsa. E não saímos disso.

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Kurt Gödel (1906-1978). Fotógrafo desconhecido.

A representação de sentenças matemáticas por números e um raciocínio que envolve auto-referência   são os elementos básicos de um surpreendente resultado, devido ao austro-húngaro Kurt Gödel, que depois se naturalizaria americano. O resultado diz respeito ao que pode ou não ser provado formalmente em aritmética. Uma prova formal consiste em uma sequência de sentenças matemáticas verdadeiras, cada uma construída a partir da anterior de acordo com regras logicamente consistentes, sendo a primeira um axioma do sistema formal (algo cuja veracidade não é discutida), e a última o teorema a provar.

Usando o “truque” de codificar sentenças matemáticas sobre aritmética em números (que são o próprio objeto da aritmética), e naturalmente usando uma longa sequência de ideias complexas, criativas e brilhantes que não temos como acompanhar aqui, Gödel constroi um hipotético número G que codifica uma estranha sentença matemática. Em termos simplificados, ela nos diz “a afirmativa codificada pelo número G não pode ser provada em aritmética”.

Se a afirmativa codificada por G (que diz, lembremos, “eu não posso ser provada”) for falsa, ela pode ser provada. Mas então a aritmética permitiria a prova de uma afirmativa falsa. Se o sistema de prova formal em aritmética é consistente, ele não deveria provar afirmativas falsas. Então, essa prova não existe, e a afirmativa é verdadeira. Observe que o paralelismo com o Paradoxo do Mentiroso acaba aqui. A afirmativa não se diz falsa, diz apenas que ela mesma não pode ser provada. Não há contradição alguma em considerá-la verdadeira.

Não há contradição, mas há uma conclusão desconcertante. Eis uma afirmativa verdadeira sobre uma propriedade de números (em particular, do número G) que não pode ser provada em aritmética, justamente o sistema que deveria saber tratar de todas as verdades sobre números.

Esse resultado e outro semelhante, quando publicados em 1931, causaram ondas de choque na matemática e na lógica, que se espalharam por todo o meio acadêmico. Infelizmente, sua descuidada transcrição para termos mais leigos (incluindo os usados por acadêmicos mais afastados da matemática) levou a grandes distorções. “Teorema de Gödel” é algo frequentemente invocado levianamente, como forma de construir uma versão desnecessariamente erudita do truísmo “não se pode saber tudo”, e daí trilhar os caminhos do relativismo. Uma construção falsa, em toda sua pseudo-erudição. G representa uma afirmativa verdadeira, como acabamos de concluir. Não é um exemplo de algo cuja veracidade não pode ser determinada. É um exemplo de algo que o processo formal de prova não alcança. “Provar”, no sentido de prova formal matemática, não é o mesmo que “concluir que é verdadeiro”. São simplesmente objetos diferentes.

Em outra vertente, Gödel é invocado para provar que a Inteligência é algo fora do alcance de máquinas. O núcleo da prova seria observar que a inteligência natural de Gödel, e de humanos que podem compreender seu teorema, nos leva a ver além do que a prova formal, mecânica, pode construir. É assunto para outro texto, mas adianto que, em minha opinião, a analogia é fraca. Se forçado a tirar conclusões sobre a humanidade a partir de um teorema de lógica (o que não me parece algo produtivo), eu fico com outra analogia, parafraseando o cientista inglês Pat Hayes e colaboradores [1]: nós, e também hipotéticos sistemas artificiais com inteligência, temos dificuldade em alcançar certas verdades sobre nós mesmos.


[1] P. Hayes et al., “Human Reasoning About Artificial Intelligence”, in: E. Dietrich (Ed.), Thinking Computers & Virtual Persons: Essays on the Intentionality of Machines, Academic Press, 1994, p. 334

Not always continuous

This is a translation, by the author, of a previous post in Portuguese.

Today I would like to make a small addition to an earlier post, in which I made comments on discrete sets and also on the idea of the continuous. It is a small post on a complex matter. The reason (or excuse) for its existence is that maybe it will arouse the interest for those matters, and interested people may look for details. But the relatively small text may induce some wrong ideas. It is time to warn readers about them.

The first idea that we might come up with is that physical variables (distances, positions, velocities, voltages) are continuous while discrete sets (like the numbers we use in counting) are human constructions to represent information. This idea is wrong.

On the same post, I mentioned that Pythagoreans appreciated proportions between integer numbers. They naturally discovered those proportions from quantities in the real world. A natural example is found in music.

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Guitar srings vibrate. Image from a video by user  nicogetz on YouTube, linked in the text.

In the picture taken  from this beautiful video, we see vibrating strings on a guitar. If you pick a string on a guitar, or maybe on a harp, and then release it,  if you make hammers strike the strings on a piano, if you slide the hair of a violin bow through its strings, they vibrate in a complex pattern. But, despite all this complexity, one thing is fixed. The two ends of the strings (and also the point you hold your finger over the string, in the case of a violin or guitar) can not go  anywhere. This is called a Boundary Condition. At the same time, the swing of the string must follow the regular pattern we see on the second string on the left. Those two conditions limit the ways by which the string can vibrate.

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Representation of vibration modes of a string. Public domain via Wikimedia Commons.

This figure shows a representation of those ways (or modes) of vibration. All of them satisfy the boundary condition that the ends of the string are fixed.

The string can, then, vibrate in each one of these modes, but how does it vibrate, specifically? As a combination of all those modes. The proportion of each mode on the mix will depend on many things: the exact way the string perturbation was initiated, all the physical variables of the string and the way its ends were fixed. All this contributes to Timbre, the feature that makes the same note sound different on different instruments. It contributes also to the elusive “sound quality” that musicians seek.

And how do these modes sound? The first (on top) depends on physical data on the string, like density and length. What is interesting is that the second produces a vibration at twice the frequency of the first, the third at thrice the frequency and so on. Integer numbers. Your ear and brain still interpret that combinations as a single note, with the height of the fundamental mode, while the others (called overtones) complete, let us say, the texture of this sound.

A vibration twice as fast correspond, in music theory, to the octave, such a consonant interval that all mammals that have been tested perceive it as the same note, only higher (I always wondered how they tested the whales, but we will skip that part). A vibration 3/2 times faster (as the ratio between the second and third modes) correspond to the musical fifth, still a very consonant interval. So much consonant that classical harmony rules suggest parts should not walk in parallel fifths, because they seem to melt into a single part, turning harmony poorer. If the reader has a piano available, strike firmly a note in the mid-bass section. These are rich on the third mode, and you will hear, rising from the resonance, a fifth one octave higher (a higher G if you struck a C).

Looking again at the figure, the same ratios are obtained changing the string lengths. A length with half the size will produce a fundamental note one octave higher. With 2/3 of the original size, a fifth higher. Simple ratio between lengths lead to consonant, or agreeable, musical intervals. It was party day for the Pythagoreans.

This old theory came to be invoked again by physicists, to take them out of the mess they got themselves into by the dawn of the 20th century. When experiments about atomic structure of matter were contrasted with classical mechanical theory by Newton and electromagnetism by Maxwell, all seemed to indicate Nature was having fun with the physicists.

Bodies emit light whose colour varies with the body’s temperature. Incandescent bulbs heat up so much that they start emitting yellowish light. The fire flame is reddish, but its hotter part is blue. Attempts to explain that based on classic Maxwell’s equations for electromagnetism were at first a complete failure. All bodies would have to emit light with higher and higher energy at the high frequencies (blue, violet and beyond), an absurd conclusion that was named (with a bit of drama) “the ultraviolet catastrophe”. Planck was able to find an answer with a strange postulate: for some unknown reason, the energy from each mode of this electromagnetic radiation would have to be an integer multiple of a certain fundamental quantity (or quanta).

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Max Planck (1958-1947). Public Domain via Wikimedia Commons.

Electrons on a metal surface may absorb energy (from incident light, for instance) and escape the material. Curiously, the energy absorbed does not depend on light intensity. Einstein solved this problem on the “photoelectric effect” (which gave him the Nobel Prize, not Relativity Theory as some may imagine) with a weird postulate: each electron absorbs a fixed amount of energy from incident light. Higher intensity implies in more electrons absorbing that same energy, not an increase in absorbed energy for each electron. Which amount? The same Planck needed to solve his problem.

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Ewrin Schrödinger (1887-1961). Public Domain via Wikimedia Commons.

Phyiscal quantities that can only exist as multiple of a fundamental quantity reminded physicists, obviously, of waves on a string. Schrödinger, nowadays famous for a cat he probably never owned, came up with an equation whose solution is wave-like, putting those weird postulates from early Quantum Mechanics in mode solid basis: certain phyisical quantities are always measured as multiple of a fundamental quantity.

The warning I wanted to make on this text works both ways: neither all measurable quantity is continuous, nor the representation of information through discrete objects like natural numbers is a human invention. The other way we can follow next week.

Os bits A,C,G e T

Histórico de edições:
12 de fevereiro 2018: Um engano na descrição das cores da Figura foi corrigido.
17 de fevereiro: Um erro de ortografia foi corrigido.
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Em um texto anterior, comentei que uma forma particular de processamento de informação, que denominamos digital, é baseada na existência de um código com símbolos estanques, ou discretos, e que vem daí sua robustez contra erros e deteriorações. É interessante observar que este código não precisa ser visto como uma invenção de engenheiros.

Eu nunca fui um grande fã de Biologia na escola. Mas Charles Darwin, cujo aniversário celebraremos em 12 de fevereiro, é o principal responsável pela mais revolucionária e criativa ideia de toda a ciência. Todos apreciamos como Newton unificou a mecânica da Terra e dos céus, mas Darwin e Wallace permitiram que, ao longo do tempo a Biologia unificasse  matéria e vida, a aleatoriedade e a aparência de propósito, a existência de seres humanos e de insetos. Uma ideia mais radical, bela e corajosa. Isso me trouxe um grande interesse pela área, embora não tenha apreço especial por bichinhos.

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Foto de Charles Darwin, provavelmente de 1854. Mauli e Fox, fotógrafos. Domínio Público via Wikimedia Commons.

Outra característica notável de Darwin é sua exposição de argumentos, direta e honesta, como idealmente tudo em Ciência deveria ser. A Origem das Espécies dedica longos trechos a possíveis objeções e dificuldades de sua teoria, e às perguntas para os quais ele não tinha uma boa resposta. Ele não poderia ter uma boa resposta, em muitos casos, já que apenas a compreensão da genética poderia colocar elementos que faltavam nessa teoria. Uma dificuldade particularmente séria era explicar como as pequenas mudanças aleatórias, que seriam o material base que a Seleção Natural tem para trabalhar, não desapareceriam, ou seriam atenuadas,  na “mistura” das características dos pais na geração de sua prole.

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Representação esquemátca de reprodução com dominância. A informação genética que leva ao hipotético organismo branco (1) está presente, mesmo quando não aparece expressa em uma geração (2), podendo aparecer de maneira perfeita na geração seguinte (3). Por Benutzer:Magnus Manske

O caráter discreto do código genético e a ideia de dominância são os elementos que faltam nesta descrição. Na visão esquemática de três gerações de um ser vivo hipotético nesta Figura, poderíamos nos perguntar:  por que o branco (que surgiu aleatoriamente, e talvez fosse, no futuro,  objeto de seleção em um certo ambiente) não viraria rosa na segunda geração, e um rosa escuro na terceira, e desapareceria por completo nas seguintes? Em outras formas de herança sem dominância ou com dominância parcial, essas possibilidades existem. Mas o  branco perfeito pode aparecer na terceira geração porque, entre outras coisas, sua informação genética está presente, perfeita, na forma de um código de símbolos discretos: as bases representadas por A,C,G e T.

É claro que esta semelhança não passou despercebida, e especialistas em codificação e informação ajudaram biólogos a avançarem nesta área. Mas dizer que algo é um código discreto ou digital não significa que engenheiros e cientistas da computação saibam tudo (ou qualquer coisa) sobre ele. Em parte da mensagem codificada, existe uma correspondência entre trios dessas bases e a codificação de proteínas, mas há grandes lacunas de conhecimento a preencher.

Além disso, o DNA não é um manual de construção de seres vivos. Conhece-se muito pouco do delicado e complexo processo que faz as células, carregando rigorosamente a mesma informação genética, tornarem-se diferentes em um organismo multicelular, apenas para citar um exemplo. Ideias perturbadoras,  como uma  impressora 3D biológica que pode fazer cópias de você, ou computadores que podem ler nossos códigos e sugerir atualizações, se não são impossibilidades físicas, não parecem ser algo com que tenhamos de nos preocupar em um futuro próximo.

The discrete and the weird

(This is my translation from an earlier post in Portuguese on this blog)

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During a session of the undergraduate council, we were discussing the curriculum of a degree in the area of computing. I had just read an opinion, and a colleague from the Mathematics department raised some issues on Discrete Mathematics courses. In Portuguese, the word (Discreta) also means low-key, subtle, guarded, which corresponds, I imagine, to the seldom used word Discreet, in English. A representative of the Biology area found the expression amusing, and made a joke, asking if there was also Blatant Mathematics. The laughter that followed was a more interesting moment than my dull opinion on the matter.

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Flowers by the way. Photograph by the Author, 2015.

The picture shows a portion of a sidewalk covered by flowers. These flowers, while many in number, are not infinite. We can arrange them in a row along the sidewalk, leaving empty space between one flower and the next. Discrete sets are made of isolated elements, like these flowers.

Let us imagine that, after putting the flowers in a row, we match each one with a number (1, 2, 3, …). Between two neighbour flowers there is empty space, between their numbers there is no other number. For each flower, a number. A first flower with number 1, a last flower with some big number. Thus, this set of flowers can be counted, or put in correspondence with natural numbers.

Any discrete set with 100 objects can be put in one-to-one relation to numbers from 1 to 100, and so its elements may be counted. The same goes for 200 discrete objects or… infinite discrete objects. The count has no end in this last case, but can be defined. There is no doubt about the order by which this infinite objects get their number. This case gets the curious name of “Countably Infinite” in mathematics.

Now, let us go back to the sidewalk picture, and mentally take all the flowers out. Let us think about the sidewalk itself. The reasonably smooth path in the picture. It has a beginning and an end, but there are no longer discrete objects. There is an infinite, continuous stretch of cement. This remains true if we mentally divide the path in whatever small segments. In between each two points we may imagine there are intermediate points, in fact infinite points.

This apparent contradiction, by which infinite points compound a finite distance, haunted Mathematics and Philosophy for centuries. It is present in the argument of Zeno of Elea, revealing deep difficulties in the description of dynamics and movement. It brought persistent problems to the first steps, by Newton and Leibniz, into differential calculus, problems which lasted into the 19th century, when Cauchy and Dedekind managed to find more solid foundations.

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Pellegrini Tibaldi, Zeno shows the doors to truth and falsity. Public Domain,  Wikimedia commons.

The points in our sidewalk, unlike the flowers, cannot be put in correspondence with numbers and counted. At first sight, this seems related to the question of having infinite points between any two points. But this is not so. Remember that our counting procedure was already possibly infinite, and that did not stop us. Besides, we all know fractions from school. You can always put a fraction in between two fractions. And they are still represented by two integers. If we can count all integers, we can count pairs of them.

What happens in our sidewalk is something more strange: there are segments (and infinite many of them) whose length cannot be expressed by any fraction. In other words, there are distances that cannot be expressed as a multiple of any unit of distance, no matter how small.

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No matter in how many pieces we divide diagonal AC. This piece will never fit an integer number of times in side AB.

On the square represented in the figure, there is a strange property between sides (AB, for instance) and the diagonal. No matter in how many equal pieces we cut the diagonal AC: in two pieces, a million or a billion equal pieces. No piece, however small, will fit an integer number of times in one of the sides. On this example representation, we divided the diagonal in seven pieces and they fit more than four, less than five times on the side.

In a remarkable example of cruel fate, the discovery of quantities that cannot be put in proportion to other quantities was made by the Pythagoreans, who had an almost mystical interest in proportions.

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Fyodor Bronnikov, Pythagorians celebrate sunrise. Public domain,  Wikimedia commons.

It is the weird presence of these irrational quantities that makes our counting scheme impossible. These quantities, expressed in decimal digits, have an infinite expression. They have infinite digits, with no repetition pattern. There is no way of putting them in a list to be counted. Instead of countably infinite objects, we have uncountably infinite. In place of a discrete mathematics, we have a mathematics for the continuous.

But what is the point of all that for our computer science majors at the beginning of this story? Let us go back to the discrete sets. When we mentioned the possibility of counting, there was no reference to a specific numbering system, nor is this necessary. In the west, we use a positional system with 10 symbols. This is a hindu idea, brought to Europe through the work of arab mathematicians, like the uzbek Al-Kwarizmi, whose name is the origin of words like guarismo in Spanish or algarismo in Portuguese, meaning digit.

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Statue of Al-Kharizmi at Khiva, Uzbekistan. (C) Melvin Longhurst.

Nothing prevents us from using more or fewer symbols. A particularly convenient arrangement uses only two symbols (which may be represented by 0 and 1). The advantage, for the electronic processing of information, is that we need to process only two values of the electrical variable (high and low voltage, for instance).  The system becomes much more robust against errors and imperfections. The value of electrical voltage must be kept only precisely enough to convey the information of either zero (low value) or one (high value).

Besides, as we represent different objects in pieces of binary information (bits), a common ground is created for processing different data. Those numbers, expressed as zeros and ones, may represent air pressure over time (audio), irradiance over space (images), or just numbers, of course. All under the same theoretical base and the same form of expression in technology. All making use of results from discrete  mathematics.

Nem sempre contínuo

Nota de edição: Na versão original, havia um erro no argumento sobre comprimento de cordas, apontado por um leitor. Fiz a correção no mesmo dia.

 

Hoje eu gostaria apenas de fazer um adendo a uma postagem anterior,  na qual comentei sobre conjuntos discretos e também sobre a ideia de contínuo. É um pequeno post sobre um assunto complexo. A razão (ou desculpa) para sua existência é que ele talvez desperte o interesse por aqueles assuntos, e que quem se interessar pode procurar pelos detalhes. Mas o texto relativamente breve pode ter induzido algumas ideias incorretas. É hora de fazer este alerta.

A primeira ideia que pode surgir é que variáveis físicas (distâncias, posições, velocidades, tensão elétrica em um circuito) são contínuas enquanto que conjuntos discretos (como os números que usamos para contar) são construções humanas para representar informações. Esta ideia está errada.

Naquele mesmo texto eu mencionava que os pitagóricos apreciavam proporções entre números inteiros. Eles naturalmente chegaram a tais proporções a partir de variáveis do mundo real. Um exemplo bastante natural é a música.

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Cordas de um violão vibram. Imagem tirada do video do usuário nicogetz no YouTube, indicado no texto.

Na foto tirada deste belo video, vemos cordas de um violão vibrando. Se você desloca e depois solta as cordas de um violão ou harpa, se faz martelos baterem nas cordas de um piano, ou se fricciona as cordas de um violino com o arco,  elas vibram em um padrão complexo. Mas, em toda esta complexidade, uma coisa é fixa. Os dois extremos da corda (e também a posição onde está seu dedo na corda do violino) não vão vibrar de maneira alguma, algo que matemáticos e físicos chamam Condição de Contorno. Por outro lado, a oscilação das cordas precisa seguir o padrão aproximadamente regular que vemos na segunda corda à esquerda. Essas duas condições limitam as formas como a corda podem vibrar.

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Representação dos modos de vibração de uma corda. Domínio público via Wikimedia Commons.

Na figura ao lado temos a representação destas formas (ou modos) de vibração. Todas eles satisfazem a condição de que as extremidades estejam paradas, e a corda pode vibrar em cada um desses modos.

Ela pode vibrar em cada um desses, mas especificamente vibra como? Numa combinação simultânea de todos esses modos. A proporção relativa de cada um vai depender de muitas coisas: a forma exata como a perturbação foi iniciada, todas as características físicas da corda e da forma como suas extremidades foram presas. Tudo isso contribui para o chamado Timbre, que faz a nota de mesma altura de um violino e de um piano soarem diferentes. Contribuem também para a difícil característica chamada qualidade de som, que os instrumentistas buscam.

E qual o som desses modos? O primeiro (de cima) depende de características da corda como densidade, comprimento e o quanto ela foi tensionada. O interessante é que o segundo provoca uma vibração de 2 vezes a frequência do primeiro, o terceiro 3 vezes, e assim por diante. Números inteiros. O seu ouvido e seu cérebro continuam interpretando a combinação de todos os modos como uma nota única, de mesma altura da fundamental, e os chamados harmônicos completam, digamos, a textura desse som.

A vibração 2 vezes mais rápida corresponde a uma oitava na teoria musical, um intervalo tão consonante que todos os mamíferos testados reconhecem como “a mesma nota, só mais aguda” (eu sempre me perguntei como fizeram o teste com as baleias, mas vamos pular essa parte). A vibração 3/2 vezes mais rápida (como entre o segundo e terceiro modo) corresponde à quinta, ainda um intervalo muito consonante. Tão consonante que regras clássicas da harmonia sugerem evitar que vozes andem paralelamente em quintas, porque elas parecem se fundir em uma só, com perda de riqueza harmônica. Se o leitor(a) tiver um piano disponível, ataque com firmeza uma nota do meio-grave. Essas notas são ricas no terceiro modo, e você vai ouvir, na ressonância, uma quinta acima da oitava (um sol mais agudo, se atacou um dó).

Observando de novo a figura, as mesmas relações são obtidas mudando-se o comprimento das cordas. Uma corda de comprimento igual à metade de uma outra terá fundamental uma oitava acima. Com comprimento 2/3, uma quinta acima. Relações simples entres comprimentos de cordas levam a intervalos musicais consonantes, ou agradáveis. Os pitagóricos fizeram a festa.

Essa antiga teoria viria a ser invocada de novo pelos físicos para se livrarem da enrascada em que se meteram no começo do século XX. Quando experimentos sobre a estrutura atômica da matéria começaram a ser analisados à luz da teoria clássica de Newton e do eletromagnetismo de Maxwell, tudo parecia indicar que a natureza estava brincando com os físicos.

Corpos emitem luz em uma cor que varia com a temperatura. Lâmpadas incandescentes esquentam tanto que começam a emitir uma luz amarelada. A chama do fogo é avermelhada, quando baixa, mas sua parte mais quente é azulada. A tentativa de explicar isso a partir das equações do eletromagnetismo de Maxwell falhavam miseravalmente. Todos os corpos teriam que emitir luz com mais e mais energia nas cores de mais alta frequência, um absurdo que foi denominado (com algum exagero dramático) “a catástrofe do ultravioleta”. Planck conseguiu uma resposta usando um postulado estranho: por algum motivo desconhecido, a energia emanada da radiação eletromagnética teria que ser múltipla inteira de uma certa quantidade fundamental (ou quanta).

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Max Planck (1958-1947). Domínio Público via Wikimedia Commons.

Elétrons da superfície de metais podem absorver energia (da incidência de luz, por exemplo) e escapar do material. Curiosamente, a energia adquirida não depende da intensidade da luz incidente. Einstein resolveu o problema deste “efeito fotoelétrico” (que lhe rendeu o Nobel de Física, em vez da Teoria da Relatividade como muitos imaginam) com um postulado estranho: cada elétron absorve uma quantidade fixa de energia da radiação incidente. Mais intensidade significa que mais elétrons absorvem aquela mesma energia, não que a energia por eles absorvida aumente. Qual quantidade? A mesma que Planck precisava para que seu problema fosse resolvido.

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Ewrin Schrödinger (1887-1961). Domínio Público via Wikimedia Commons.

Quantidades físicas que só podem existir em múltiplos de uma quantidade fundamental lembravam aos físicos, obviamente, da questão das ondas de uma corda. Schrödinger, hoje mais conhecido por um gato que ele provavelmente nunca teve, chegou a uma equação cuja solução é uma onda, e que coloca em base mais sólidas os estranhos postulados iniciais da mecânica quântica: certas quantidades físicas são sempre medidas como múltiplas de uma quantidade fundamental.

O alerta que queria fazer neste texto vale para os dois sentidos: nem toda quantidade mensurável é contínua, mas também é falso que a representação de informação em objetos como os números naturais sejam uma invenção humana. O outro sentido fica para a próxima semana.

 

 

 

Not always silence

Author’s translation of a Portuguese post on this blog.

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One can see, from its title, that this blog intends to have doubt and questioning as companions. It is natural that it should begin by questioning its own relevance.

On the same internet it will be a part of, we find that the number of existing blogs surpasses 100 million, with more than one million new posts a day. The probability that anything written here is not better written elsewhere is very small. My expertise might interest only a few. On that which might interest many, I pretty much have opinions only, as others do.

And aren’t we today overwhelmed with opinions, with publicizing? Umberto Eco was straightforward: the persons who until now shared their thoughts with drunken friends in a bar became editors. They have ideas to be followed and liked. One may fear that the trivialization of writing and editing, the easy access to unverified information, favor prejudice, extremism and hate, by giving them a medium for resonance. What is the point, then of amateur writing, and sharing this writing with other amateurs?

The point is that silence is not always as good as it seems. In general, we should listen more than talk, but silence in itself is seldom a solution. If we wish to fight ignorance, intolerance and hate, we need to spread ideas, both old and new. If we fear joining the ranks of a shouting ignorant army, silence is a weird solution. A more promising once is trying to speak thoughtfully, trying to move away from ignorance and shouting, however difficult.

There is another reason. Disguised in between laudable worries with hate and superficiality, a form of censorship is developing. A deliberate effort to create unanimity through silence. To make all believe we all agree to a single answer. So, we should also write to remind us we are individuals. That consensus is generally unstable. That all ideas draw opposition, and that is a good thing. Writing not necessarily to convince, but to make other silent people see they are not alone, and that there is nothing wrong with questioning.

O discreto e o estranho

Em uma reunião do Conselho de Ensino da universidade discutia-se o currículo de um curso da área de computação. Eu li um parecer, e um colega da Matemática fez considerações sobre disciplinas de Matemática Discreta. Uma representante da área de Ciências Biológicas achou a expressão engraçada e, em tom de brincadeira, nos perguntou ao final da reunião se haveria também uma Matemática Espalhafatosa. A gargalhada que se seguiu foi um momento muito mais interessante do que meu enfadonho relatório sobre o assunto.

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Flores pelo caminho. Foto do Autor, 2015.

A foto ao lado mostra um trecho de calçada coberta por flores. Estas flores, embora sejam muitas, não são infinitas. Podemos arranjá-las em um fila pelo caminho, deixando espaço vazio entre uma folha e a seguinte. Conjuntos discretos são feitos de elementos isolados, como estas folhas.

Imaginemos que, após colocar as folhas em uma fila, atribuímos a cada uma um número (1, 2, 3, …). Entre duas folhas há espaço vazio, entre um número e outro não há outros números. Cada folha, um número. Uma primeira folha com número 1, uma última folha com algum número grande, mas existente. Assim, este conjunto de folhas pode ser contado, ou posto em correspondência com números.

Qualquer conjunto de 100 objetos isolados pode ser colocado em relação um a um com os números de 1 a 100, e assim seus elementos podem ser contados. Vale o mesmo para um conjunto de 200 objetos isolados ou … infinitos objetos isolados. A contagem, neste último caso, não termina nunca, mas pode ser definida. Não há dúvida sobre a ordem pela qual esses infinitos objetos recebem o seu número. Para este caso, os matemáticos usam a curiosa expressão “infinitude contável”.

Agora, voltemos à foto da calçada, e vamos mentalmente retirar todas as folhas. Vamos pensar no caminho em si. No caminho razoavelmente liso e sem buracos que a foto mostra. Ele tem um começo e um fim, mas não há mais objetos isolados. Há uma sucessão infinita, contínua, de cimento. Isto continua verdadeiro por menor que sejam os segmentos em que mentalmente dividirmos este caminho. Entre cada dois pontos que imaginarmos há pontos intermediários, e na verdade infinitos deles.

Esta aparente contradição, infinitos pontos compondo uma distância finita, assombrou a Matemática e a Filosofia por séculos. Ela está presente no argumento de Zenão de Eleia, que revela dificuldades profundas na descrição da dinâmica e do movimento. Ela traz problemas persistentes nos primeiros passos de Newton e Leibniz na definição do Cálculo Diferencial, dificuldades que perdurariam até o século XIX, quando Cauchy e Dedekind conseguiriam bases mais sólidas.

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Pellegrini Tibaldi, Zenão de Eleia mostra a jovens as portas do verdadeiro e do falso. Domínio público, via Wikicmedia commons.

Os pontos de nossa calçada, ao contrário das flores, não podem ser colocados em correspondência com números e contados. À primeira vista, isto parece relacionado a esta questão de haver infinitos pontos entre dois pontos quaisquer. Mas não é assim.  Lembre-se de que nossa contagem já era, possivelmente, infinita, e isso não nos impediu. Pense também que todos conhecemos da escola os números fracionários. Eles não formam pontos isolados, porque se pode construir uma nova fração entre quaisquer duas outras frações. E ainda assim, frações são representadas por dois números inteiros. Se podemos contar os inteiros, podemos contar duplas deles.

Não, o que acontece na nossa calçada  é algo ainda mais estranho: há segmentos (e infinitos deles) cujo comprimento não pode ser expresso por nenhuma fração. Dito de outra forma, há distâncias que não podem ser expressas como um múltiplo de nenhuma unidade de distância, por menor que seja.

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Não importa em quantas partes dividamos a diagonal AC, esta parte, por minúscula que seja,  nunca caberá um número inteiro de vezes no lado AB.

No quadrado ao lado, existe uma propriedade estranha entre os seus lados (AB, por exemplo) e sua diagonal. Não interessa em quantas partes iguais você corte a diagonal AC: em duas partes, em um milhão ou um bilhão de partes iguais. Nenhuma delas, por menor que seja, cabe um número inteiro de vezes em um dos lados. No exemplo, a diagonal foi dividida em 7 pedaços e eles cabem mais de 4, menos de 5 vezes no lado.

 

 

 

Num caso exemplar de crueldade do destino, a descoberta de quantidades que não podem ser colocadas em proporção a outras foi feita pelos pitagóricos, que tinham apreço quase místico por proporções.

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Fyodor Bronnikov, Pitagóricos celebram a aurora. Domínio público, via Wikimedia commons.

Enfim, é a estranha presença destas quantidades irracionais que faz nosso esquema de contagem ir por água abaixo. Estas quantidades, expressas como números decimais, não têm expressão finita. São expressas por infinitos dígitos, e não há padrão de repetição entre eles. Não há como “colocá-los na lista” da contagem. Em vez da infinitude contável, temos agora uma infinitude incontável. Em lugar de uma matemática de conjuntos discretos, uma matemática do contínuo.

Mas o que tem tudo isso a ver com nossos estudantes de computação do começo desta história? Voltemos aos conjuntos discretos. Quando mencionamos a possibilidade de contá-los, não nos referimos a nenhum sistema específico de numeração, e nem precisamos. No ocidente, usamos um sistema posicional com 10 símbolos. Uma ideia hindu trazida por matemáticos árabes como o uzbeque Al-Kwarizmi, cujo nome está na origem de palavras como guarismo em espanhol e algarismo em português.

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Estátua de Al-Kharizmi em Khiva, Uzbequistão. (C) Melvin Longhurst.

Mas nada nos impede de usar menos ou mais símbolos. Um arranjo particularmente conveniente é usar dois símbolos apenas (digamos,  0 e 1). A vantagem, no processamento eletrônico de informações, é que só precisamos trabalhar com duas possibilidades da variável elétrica (tensão alta e tensão baixa, por exemplo). O sistema torna-se muito robusto contra erros e imperfeições. O valor da tensão elétrica não precisa ser mantido ou transmitido com grande precisão, mas apenas a precisão suficiente para sabermos se ele originalmente representava um 0 (valor baixo) ou um 1 (valor alto).

Além disso, ao representar diferentes objetos em pedaços de informação binária (bits), cria-se um meio comum para processar uma variedade de dados. Esses números, expressos como 0s e 1s, podem representar pressão sonora ao longo do tempo (áudio), irradiância ao longo do espaço (imagens), ou simplesmente números, é claro. Todos sob uma mesma base teórica e a mesma forma de expressão tecnológica. Ambas fazendo uso de resultados da matemática discreta, ou quem sabe, a não-espalhafatosa.

 

Nem sempre o silêncio

Nota-se, do título, que este blog pretende ter a dúvida e o questionamento como companhia. É natural que comece questionando sua própria relevância.

Na mesma rede a que ele vai ser adicionado encontra-se a informação de que o número de blogs existentes passa dos 100 milhões.  E que há mais de um milhão de novas postagens por dia. A probabilidade de que qualquer coisa escrita aqui já não esteja melhor escrita em outro lugar é muito pequena. Minha especialidade talvez interesse a poucos. Sobre o que talvez interesse a muitos eu tenho basicamente opiniões, como outros.

E já não sofremos hoje de excesso de opiniões, excesso de publicidade? Umberto Eco foi taxativo: quem antes só compartilhava suas opiniões com amigos bêbados no botequim virou editor: tem ideias a serem seguidas e curtidas. Teme-se que esta banalização da escrita e da edição, este acesso fácil à informação não-avaliada favoreça o preconceito, o extremismo e o ódio ao lhes dar ressonância. Por que então escrever  amadoramente, e usar novos recursos para espalhar qualquer coisa que se escreva para outros amadores?

Porque às vezes o silêncio não é tão bom quanto parece. É salutar ouvir mais do que falar, mas é raro que o silêncio, por si só, seja solução. Se queremos combater a ignorância, intolerância e ódio, precisamos propagar ideias, antigas e novas. Se tememos engrossar o exército de ignorantes que gritam, calar-se é uma solução estranha. Outra mais promissora é falar pensadamente, procurando afastar a ignorância e o grito, sempre e com o necessário esforço.

Há um outro motivo. Disfarçada em meio a válidas preocupações contra o ódio e a superficialidade, desenvolve-se uma forma discreta de censura. Há um esforço para criar a unanimidade pelo silêncio. Fazer parecer que todos concordamos. Que só há uma resposta. Assim, também se deve escrever para lembrar que somos indivíduos. Que geralmente os consensos são instáveis. Que não há ideias sem opositores, e que isto é bom. Escrever, se não para promover o convencimento, para que outros silentes questionadores saibam que não estão sozinhos, e que não há nada errado em discordar.